SOAL LOGIKA PEMBUKTIAN (MATEMATIKA INFORMATIKA) MATEMATIKA INFORMATIKA 3

BAB 3 

LOGIKA PEMBUKTIAN

KELOMPOK 3
2IA14
Anggota  :

                        ARJUNA CESA A                                        51415029
                        DIANA MASRITA                                         51415857
                        FAJRI NOVIANDRI                                    52415448
                        FARADILLAH JAUHARAH ZULKA         52415472
                      MOCHAMMAD FARREL WIRAPUTRA    57415485
                        MUHAMMAD TAUFIQ FIRMANSYAH     54415807
                        NOVIAN ADIPUTRA                                   55415131

TEKNOLOGI INDUSTRI

TEKNIK INFORMATIKA

UNIVERSITAS GUNADARMA

1. Hasil pangkat bilangan ganjil adalah ganjil.
    Jawab :
    A. Langsung
          Hipotesis 1 = P         à Q
                            ganjil² = ganjil
          Hipotesis 2 = ganjil²
                         = (2r + 1)²
                         = 4r² + 4r + 1
                         = 2(2r² + 2r ) + 1
                         = 2k + 1
      Maka, kesimpulannya pangkat bilangan ganjil adalah ganjil.
    B. Kontradiksi
          Hipotesis 1 = P           à Q
                            ganjil²   = ganjil
          Hipotesis 2 = ganjil²  à  genap
                         = ganjil²
                         = (2r + 1)²
                         = 4r² + 4r + 1
                         = 2(2r² + 2r ) + 1
                         = 2k + 1
          Jadi, hipotesis 2 salah.
      Maka, kesimpulannya pangkat bilangan ganjil adalah ganjil.
    C. Kontraposisi
          Hipotesis 1 = P          à Q
                            ganjil²  = ganjil
          Hipotesis 2 = ~Q       à ~P
                         = genap  = genap²
                         = 2n             = (2n)²
                         = 2n        = 4n²
                         = 2n        = 2(2n²)
                         = 2n             = 2k
          Kesimpulan : Q
      Maka, kesimpulannya pangkat bilangan ganjil adalah ganjil.
2. Hasil pangkat dari penjumlahan 2 bilangan ganjil adalah genap.
    Jawab :
    A. Langsung
          Hipotesis 1 =         P                           à Q
                            (a ganjil + b ganjil)² = genap
          Hipotesis 2 = (a ganjil + b ganjil)²
                         = (2r + 1 + 2s + 1)²
                         = (2r + 2s + 2)²
                         = 4r² + 4s² + 4rs + 4sr + 8r + 8s + 4
                         = 2(2r² + 2s² + 2rs + 2sr + 4r + 4s + 2)
                         = 2k
      Maka, kesimpulannya pangkat dari penjumlahan 2 bilangan ganjil adalah genap.
    B. Kontradiksi
          Hipotesis 1 =         P                            à Q
                            (a ganjil + b ganjil)²  = genap
          Hipotesis 2 = (a ganjil + b ganjil)² à ganjil
                         = (a ganjil + b ganjil)²
                         = (2r + 1 + 2s + 1)²
                         = (2r + 2s + 2)²
                         = 4r² + 4s² + 4rs + 4sr + 8r + 8s + 4
                         = 2(2r² + 2s² + 2rs + 2sr + 4r + 4s + 2)
                         = 2k
          Jadi, hipotesis 2 salah.
      Maka, kesimpulannya pangkat dari penjumlahan 2 bilangan ganjil adalah genap.
    C. Kontraposisi
          Hipotesis 1 =         P                           à Q
                            (a ganjil + b ganjil)² = genap
          Hipotesis 2 = ~Q       à ~P
                         = ganjil = (a genap + b genap)²
                         = 2n + 1= (2r + 2s)²
                         = 2n + 1= 4r² + 4s² + 4rs + 4sr
                         = 2n + 1= 2(2r² + 2s² + 2rs + 2sr)
                         = 2n + 1= 2k
          Kesimpulan : Q
Maka, kesimpulannya pangkat dari penjumlahan 2 bilangan ganjil tidak dapat dibuktikan dengan    metode kontraposisi.
3.Jika diketahui n adalah ganjil, maka n2  adalah ?

Jawab :

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga
n = 2k + 1. Akan ditunjukkan bahwa n2 ganjil.
n2 = (2k + 1)2
     = 4k2 + 4k + 1
     = 2(2k2 + 2k) +1.
Perhatikan bahwa n2 = 2(2k2 + 2k) +1.Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n2 adalah ganjil.


4.Sebutkan metode metode dalam pembuktian langsung dan tidak langsung?

Jawab:

A. Metode Kontraposisi.
B. Metode Kontradiksi.
C. Metode Langsung.



5.M dan M adalah bil. genap maka M+N = genap?

Jawab:

·         Langsung
Hipotesis 1
P => Q
Mgenap + Ngenap = genap
          Hipotesis 2
Mgenap + Ngenap
= 2m + 2n
= 2(m + n)
= 2k
          Kesimpulan
                   Hasil tambah bil. M dan N adalah genap
·         Kontradiksi
          Hipotesis 1
P => Q
Mgenap + Ngenap = genap
          Hipotesis 2
                   ~(P => Q)
                   Mgenap  + Ngenap = ganjil
          Kesimpulan
                   Hipotesis kedua salah , jumlah bil. M genap + N genap adalah genap
·         Kontraposisi
Hipotesis 1
P => Q
Mgenap + Ngenap = genap

          Hipotesis 2
                   ~Q => ~P
                   Mganjil + Nganjil = ganjil
                   = 2n + 1  = 2m + 1 + 2m + 1
                   = 2n + 1 =  4m + 2
                             = 2(m + 1)
                             = 2X
6.X adalah bil. ganjil , maka X2 juga bil. ganjil
Jawab:
·         Langsung
Hipotesis 1
                   P => Q
                   (2a + 1) 2  = ganjil
          Hipotesis 2
                   (2a + 1) (2a + 1)
                   =4a2 + 2a + 2a + 1
                   =4a2 + 4a + 1
                   =2(2a2 + 2a) +1
                   =2k + 1
·         Kontradiksi
Hipotesis 1
P => Q
(2a + 1)2  = ganjil
          Hipotesis 2
                   ~(P =>Q)
                   (2a + 1)2 = genap
          Kesimpulan
                   Hipotesis kedua salah , X2 adalah ganjil
·         Kontraposisi
Hipotesis 1
P => Q
(2a + 1)2  = ganjil
          Hipotesis 2
                   ~Q =>~P
                   =genap = (2a – 1) (2a – 1)
                   = 2n = 4a2 – 2a – 2a + 1
                   = 2n = 4a2 – 4a + 1
                   = 2n = 2(2a2 – 2a) + 1
                   = 2n = 2k + 1
          Kesimpulan
                   X2 adalah bil. Ganjil
7. 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n(n+1)
  Untuk bilangan asli.

  →Basis Induksi
     n = 1 → 1(1+1) = 2

  → Langkah Induksi
     - n = k       → k = k(k+1)
     - k = k + 1 → k + 1 = k+1(k+1+1)
                                     = k+1(k+2)
                                     = k²+2k+ k +2
                                     = k²+3k+2

  → 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2k + 2(k+1)
     = k(k+1)+2(k+1)
     = k²+k+2k+2
     = k²+3k+2 à Terbukti Benar.

8. 1 + 2 + 3 + ... + n= ½ n(n+1)

  Untuk bilangan asli.

  → Basis Induksi
     n = 1 → ½.1(1+1) = 1

  → Langkah Induksi
     - n = k → k = ½ k(k+1)
     - k = k + 1 → k + 1 = ½ k+1(k+1+1)
                                     = ½ k+1(k+2)
                                     = ½ (k²+2k+k+2)
                                     = ½ k²+3/2 k+1    
                                     = k²+3k+2                          
  → 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1)
     = ½ k(k+1)+k+1
     = ½ (k²+k)+k+1
     = ½ k²+½ k+k+1
     = ½ k²+3/2 k+1                                
     = k²+3k+2 à Terbukti Benar.

9.Hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil

Jawab:

               Langsung

Ø  Hipotesis 1  =  p → q
                             a ganjil    x   b ganjil       = ganjil

Ø  Hipotesis 2  =  a ganjil   x   b ganjil
                           = 2n + 1    x   2n + 1
                           = (2r + 1)   x   (2s + 1)
                           = 4rs + 2r + 2s + 1
                           = 2(2rs + r + s) + 1
                           = 2 k + 1
Maka kesimpulan hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil

Kontradiksi

Ø   Hipotesis 1 =  p  →  q
                               a  x  b ganjil  = ganjil
Ø  Hipotesis 2  =  a  ganjil x  b ganjil   = genap
                              Jadi hipotesis 2 salah
Maka kesimpulan hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil


Kontraposisi

Ø  Hipotesis1   = p → q
                                a ganjil  x  b ganjil     = ganjil

Ø   Hipotesis2  =  ~q  → ~p
                              Genap  =   a genap   x   b genap
                                2n       =  2n  x  2n
                                2n       =  4n²
                                2n       = 2(2n²)
                                2n       = 2k
Kesimpulan   =  q
Maka hasil kali 2 bilangan ganjil adalah ganjil


10.Untuk bilangan bulat,buktikan jumlah 2 bilangan genap adalah genap

ü  Genap  = 0,2,4,6,8,...
                 1.2,2.2,3.2,4.2...2n
                 2n
ü  Ganjil  = 1,3,5,7,9
            = 2.1+1,2.2+1,2.3+1,...
            = 2n+1

Jawab:

Langsung

Ø  Hipotesis1   =  p  → q
                             a genap  +  b genap  =  genap

Ø  Hipotesis2   = a genap  +  b genap
                             = 2r    +   2s
                             = 2 (r +s)
                                      ↓
                                       k
                             = 2k
Maka kesimpulan jumlah 2 bilangan genap adalah genap
                            = 2r  +  2r
                            = 4r
                            = 2(2r)
                            = 2k



Kontradiksi

Ø   Hipotesis1  =  p  → q
                                 a  +  b genap  =  genap
Ø  Hipotesis2   =   a genap  +  b genap  =  ganjil
                             Jadi hipotesis 2 salah

Kesimpulan = jumlah 2 bilangan genap = genap
 

Kontraposisi

Ø  Hipotesis1   = p   →  q
                               a  +  b genap  =  genap

Ø  Hipotesis2   = ~q → ~p
                           Ganjil  =  a ganjil  +  b ganjil
2n+1 = 2r+1 + 2r+1
2n+1 = 2r + 2r + 1 + 1
2n+1 = 4r  +  2
          = 2(2r+1)
          =2k

 =2r+1+2s+1
=2r+2s+2
=2(r+s+1)
=2k

Deretan Prestasi Mahasiswa Gunadarma di Bulan Oktober 2016

• Mahasiswa Psikologi Gunadarma Launching Novel

Prestasi mahasiswa Gunadarma selama bulan Oktober ditutup oleh acara launching sebuah novel bertema cinta karya mahasiswa Gunadarma asal Palembang, Aristha J. Kusuma. Sebelumnya, mahasiswa asal Fakultas Psikologi ini sempat membuat buku tentang pengembangan diri beberapa bulan lalu. Namun, kecintaannya pada dunia tulis-menulis ini membuatnya semakin melebarkan sayap ke genre novel.

Cover novel Cinta di Balik Rasa.

• Teknik Sipil Gunadarma Berjaya dalam CCUC UI 2016

Civil Cross University Championship adalah sebuah kompetisi antar kampus untuk mahasiswa Teknik Sipil se-Indonesia yang diprakarsai oleh mahasiswa UI. Terdapat tiga mata lomba dalam kompetisi tersebut, diantaranya Futsal, Basket, dan Band.

                                                   Tim Futsal Teknik Sipil Gunadarma.

Teknik Sipil Gunadarma menurunkan kontingennya dalam kategori Futsal dan Basket, perjalanan kedua kontingan dari Gunadarma terbilang mulus hingga akhirnya tim Futsal Teknik Sipil Gunadarma harus menyerah pada ITB dengan skor 4-2 di partai final. Sedangkan tim basket Teknik Sipil Gunadarma harus puas menjadi juara tiga setelah mengalahkan Binus dengan skor 25-21.

                                                   Tim Basket Teknik Sipil Gunadarma.

• Jawara pada Liga Hockey Mahasiswa se-DKI Jakarta

Tak lama berselang dari kegembiraan pasukan SDG Gunadarma, UKM olahraga Hockey Gunadarma pun tak mau kalah untuk memberikan prestasi bagi Gunadarma. Dalam Liga Hockey Mahasiswa se-DKI Jakarta yang diselenggarakan oleh UNJ, Gunadarma berhasil menjadi juara 2 dalam kompetisi tersebut.

                                                           Tim Hockey Gunadarma.

 Meski UKM olahraga Hockey ini tak sepopuler dan sebesar UKM Futsal, Basket, atau Sepak Bola yang ada Gunadarma, tapi melalui prestasi yang sudah diraihnya ini membuktikan bahwa Gunadarma pun patut diperhitungkan dalam pertandingan-pertandingan Hockey antar mahasiswa se-DKI Jakarta bahkan se-Indonesia.

• Juara 2 Kompetisi Futsal se-DKI Jakarta

Masih dengan ajang yang sama, yaitu Liga Olahraga Mahasiswa se-DKI Jakarta yang diadakan di Kampus UNJ, kali ini UKM Futsal Gunadarma berhasil menyabet piala juara 2 dalam kompetisi tersebut. Tentu, gelar ini sangat penting sekali untuk memompa motivasi dan mentalitas para pemain, coach berserta staf tim, sebab mereka pun saat ini sedang bertanding pula dalam Liga Futsal Mahasiswa (Lifuma) 2016.

Tim Futsal Gunadarma.

• Juara pada Busan Choral Festival & Competition 2016

Setelah sebelumnya mahasiswa Gunadarma yang tergabung dalam Tim Garuda di bawah asuhan Dr. Purnawarman Musa berhasil menjadi juara 2 dalam kompetisi rancang satelit berukuran kaleng minuman standar Eropa di Ulaanbaatar, Mongolia, kini giliran unit paduan suara dari Gunadarma yang berhasil meraih juara dalam Busan Choral Festival & Competition 2016 di Busan, Korea Selatan.

             Swara Darmagita Gunadarma turun dalam 2 kategori lomba, yaitu Classical Mixed Song dan Ethnic Song. Dalam dua kategori tersebut, SDG berhasil menyabet juara 1 dan 2, Silver Prize untuk kategori Classical Mixed dan Gold Prize untuk kategori Ethnic.

Unit Paduan Suara Gunadarma di Busan, Korea Selatan.

Sebelum berangkat ke Busan, Korea Selatan, para mahasiswa-mahasiswi yang tergabung ke dalam SDG ini sempat membuat sebuah konser intim untuk lebih memperkenalkan SDG kepada mahasiswa Gunadarma, selain itu konser tersebut pun adalah salah satu cara mereka untuk mengumpulkan perbekalan untuk pergi ke Busan.

Itulah rangkaian prestasi yang ditorehkan oleh mahasiswa Gunadarma diberbagai ajang, diberbagai kelas, dan diberbagai kateogori. Semoga prestasi-prestasi mereka ini mampu menstimulus kalian untuk lebih memacu diri dan melampaui batas kemampuan yang ada.

FLOWCHART & PROGRAM LOGIN

Tugas Vclass Algoritma Pemrograman 3

Nama     : Diana Masrita

NPM      : 51415857

Kelas      : 2IA14

"Buatlah algoritma dan program (bahasa C) yang meniru mekanisme pembacaan kata sandi (password) dari keyboard. Kata sandi disimpan didalam sebuah konstanta. Apabila kata sandi yang dibaca salah, maka pembacaan kata sandi boleh diulang maksimum 3 kali."

Sebelum membuat programnya,terlebih dahulu membuat flowcartntya.
flowchatnya adalah sebagai berikut:

Setelah membuat flowchartnya barulah membuat programnya.

Programnya adalah sebagai berikut:

#include <stdio.h>

#include <string.h>

int main(){

    //deklarasi variabel

    char uname[5], pass[8];

    int ulang = 0;

    for(int i=0; i<3; i++){

        printf("------------- LOGIN ---------------\n");

        printf("\nusername:");

        scanf("%s", &uname);

        printf("\npassword:");

        scanf("%s", &pass);

        if ((strcmp(uname,"admin")==0)&&(strcmp(pass,"admin123")==0)) {

            break;

        } else {

            printf("password atau username salah\n");

            ulang = ulang + 1;

        }

    }

    if(ulang<3){

        printf("anda berhasil login.");

    } else {

        printf("anda tidak dapat login kembali");

    }

    printf("\n-----------------------------------");

}

Pada program diatas, digunakan perulangan for untuk membatasi bahwa user hanya dapat mengalami kegagalan login sebanyak 3x. jika lebih dari 3x maka program akan berhenti. sebelumnya , username dan password yang digunakan adalah "admin" dan "admin123". jika user memasukkan username dan password yang sesuai ataupun user tidak mencapai 3x gagal maka user berhasil login.